Teorema Del Binomio.

Lo que se explica a continuación es como se comporta un binomio al elevarlo a cualquier potencia.

1.) (a + b) 0 Y las leyes de los Exponentes nos dicen que cualquier cantidad elevada al exponente cero es igual a uno.
Ejemplo:
(a) 0 =1
Por lo tanto (a + b) 0 =1
2.) (a + b)1 Y cualquier cantidad elevada al exponente uno es igual a la misma cantidad.
Ejemplo:
(a) 1 = a
Por lo tanto (a + b) 1 = a + b
3.) (a + b) 2 Y las leyes de los exponentes nos dicen que cualquier número elevado al cuadrado es igual a multiplicar el mismo número dos veces.
Ejemplo:
(a) 2 = a x a
Por lo tanto (a + b) 2 = (a + b) x (a + b)
Entonces tenemos que:
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
4.) (a + b) 3 Y las leyes de los exponentes nos dicen que cualquier número elevado al cubo es igual a multiplicar el mismo número tres veces.
Ejemplo:
(a) 3 = a x a x a
Por lo tanto (a + b) 3 = (a + b) x (a + b) x (a + b)
Entonces tenemos que:
(a + b) 3 = a 3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3
5.) (a + b) 4 Y las leyes de los exponentes nos dicen que cualquier número elevado a la cuarta potencia es igual a multiplicar el mismo número cuatro veces.
Ejemplo:
(a) 4 = a x a x a x a
Por lo tanto (a + b) 4 = (a + b) x (a + b) x (a + b) x (a + b)
Entonces tenemos que:
(a + b) 4 = a 4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
Esto se aplica para cualquier Binomio elevado a cualquier exponente, se pueden describir algunos pasos para explicar como se eleva un binomio a cualquier exponente ( siempre y cuando sea mayor que 1 ):

PASO #1 Él numero de términos en el desarrollo es igual al numero del exponente mas uno ( Si un Binomio esta elevado a la 10 entonces tendrá 11 términos el desarrollo ).

PASO #2 El primer término del desarrollo es el primer término del binomio elevado al exponente que tiene el binomio.

PASO #3 El segundo término del desarrollo esta formado por un coeficiente (que es el exponente del binomio) acompañado del primer término del binomio elevado a la potencia que tiene él binomio restándole uno y multiplicando al segundo término del binomio elevado a la potencia 1.

PASO #4 Los términos siguientes estarán compuestos siempre por un coeficiente, el primer término del binomio (con el exponente disminuyendo de uno en uno) y el segundo término (con él exponente aumentado de uno en uno).

PASO #5 Los coeficientes del tercer término del desarrollo hasta el ultimo se pueden calcular por el Triángulo de Pascal ó se pueden calcular de la siguiente manera, como el coeficiente del segundo término siempre lo conocemos ( es el Exponente que tiene el Binomio ), ese numero lo vamos a multiplicar por el Exponente que tenga el termino a y lo vamos a dividir entre el Exponente que tenga b aumentándole 1.

Con los siguientes ejemplos trataremos de explicar ese procedimiento
( a + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b 1 + para encontrar el coeficiente que va aquí efectuaremos las siguientes operaciones
5 x 4 = 10
2
entonces quedaría:
( a + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b 1 + 10 a 3 b 2 + para encontrar el coeficiente que va aquí efectuaremos las siguientes operaciones
10 x 3 = 10
3
entonces quedaría:
( a + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b 1 + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + etc.
A continuación se explicara paso por paso las indicaciones anteriores
Ejemplo:
(a + b) 6 =
Como esta elevado a la potencia 6 el desarrollo tendrá 7 términos
(a + b) 6 = a 6 que será el primer término.
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b
Que son el primero y el segundo término respectivamente.
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2
Que son el primero, segundo y tercer término respectivamente.
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3
Que son el primero, segundo, tercero y cuarto término respectivamente.
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4
Que son el primero, segundo, tercero, cuarto y quinto término respectivamente.
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 a b 5
Que son el primero, segundo, tercero, cuarto, quinto y sexto término respectivamente.
(a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 a b 5 + b 6
Que son el primeros, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto y séptimo término respectivamente.
Se deben de fijar que el Exponente del primer término ( a ) disminuye de uno en uno así como también se deben de fijar que el Exponente del segundo termino ( b ) aumenta de uno en uno.
Nota:
Cuando el Exponente a que se va a elevar un binomio es Negativo ó Fraccionario el proceso será igual al descrito anteriormente pero con la variación de que su desarrollo es Infinito.
Explicación: el motivo por el cual un binomio que esta elevado a una potencia negativa ó fraccionaria su desarrollo tienda a infinito, es que de acuerdo con el Teorema del Binomio un binomio elevado a cualquier potencia el ultimo término del desarrollo es aquel que tiene el primer término del binomio elevado a la potencia cero por lo tanto cuando se tiene un exponente negativo cada vez que calculamos un término nos alejamos cada vez mas del cero, y si tuviéramos un exponente fraccionario al ir calculando los términos lo brincaríamos.